Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數的底數）.

（1）求的解析式及單調遞減區間；

（2）是否存在常數，使得對于定義域內的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）單調減區間為和；（2）存在常數滿足題意.

【解析】

試題分析：（1）求導可得當或時和；

（2）原命題化為.①當時，原命題化為，再利用導數工具可得.②當時，原命題化為恒成立，再利用導數工具可得，即存在常數滿足題意.

試題解析：（1），又由題意有：，故.此時，，由或，所以函數的單調減區間為和.（2）要恒成立，即.①當時，，則要：恒成立，令，再令，所以在內遞減，所以當時，，故，所以在內遞增，.②當時，，則要：恒成立，由①可知，當時，，所以在內遞增，

所以當時，，故，所以在內遞增，.綜合①②可得：，即存在常數滿足題意.