Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的右準線方程為，右頂點為．

求橢圓C的方程；

若M，N是橢圓C上不同于A的兩點，點P是線段MN的中點．

如圖1，若為等腰直角三角形且直角頂點P在x軸上方，求直線MN的方程；

如圖2所示，點Q是線段NA的中點，若且的角平分線與x軸垂直，求直線AM的斜率．

Answer 1

【答案】（1）； （2）①；②.

【解析】

（1）利用準線方程，頂點坐標，得到的值，從而得到橢圓方程；（2）①利用等腰直角三角形，求得點坐標；再利用點差法，求得直線的斜率，得到直線方程；②根據點差法得到的結論，通過假設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理求得兩點坐標，構造關于的方程，求得的取值。

橢圓C：的右準線方程為，右頂點為．

，，，，

橢圓C的方程為．

為等腰直角三角形且直角頂點P在x軸上方．

的方程為：，AP的方程為：．

由可得．

設，則，

，，

兩式相減可得

可得：，又，可得．

直線MN的方程為，即．

設AM的斜率為k，點P是線段MN的中點，點Q是線段NA的中點，．

的角平分線與x軸垂直，，．

由可得，．

設AM的方程為．

由可得．

，

，，

以換k，可得，，

，

整理可得：，解得，．

直線AM的斜率為