Question

【題目】已知關(guān)于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．

（Ⅰ）解該不等式；

（Ⅱ）定義區(qū)間（m，n）的長(zhǎng)度為d=n﹣m，若a∈R，求該不等式解集表示的區(qū)間長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，原不等式的解為a2+2＜x＜3a，

當(dāng)a=1或a=2時(shí)，原不等式的解集為，

當(dāng)a＜1或a＞2時(shí)，原不等式的解為3a＜x＜a2+2．

（2）當(dāng)a=4時(shí)，dmax=6.

【解析】試題分析：（1）先考慮因式分解，再比較兩根關(guān)系，當(dāng)1＜a＜2時(shí)，原不等式的解為a2+2＜x＜3a，當(dāng)a=1或a=2時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)a＜1或a＞2時(shí)，原不等式的解為3a＜x＜a2+2．（2），求該式子的最值即可.

（Ⅰ）原不等式可化為(x-a2-2)（x﹣3a）＜0，

當(dāng)a2+2＜3a，即1＜a＜2時(shí)，原不等式的解為a2+2＜x＜3a；

當(dāng)a2+2=3a，即a=1或a=2時(shí)，原不等式的解集為；

當(dāng)a2+2＞3a，即a＜1或a＞2時(shí)，原不等式的解為3a＜x＜a2+2．

綜上所述，當(dāng)1＜a＜2時(shí)，原不等式的解為a2+2＜x＜3a，

當(dāng)a=1或a=2時(shí)，原不等式的解集為，

當(dāng)a＜1或a＞2時(shí)，原不等式的解為3a＜x＜a2+2．

（Ⅱ）當(dāng)a=1或a=2時(shí)，該不等式解集表示的區(qū)間長(zhǎng)度不可能最大．當(dāng)a≠1且a≠2時(shí)，

，a∈R．設(shè)t=a2+2﹣3a，a∈R，則當(dāng)a=0時(shí)，t=2，當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng)a=4時(shí)，t=6，∴當(dāng)a=4時(shí)，dmax=6．