Question

設函數.
（1）若，對一切恒成立，求的最大值；
（2）設，且、是曲線上任意兩點，若對任意，直線的斜率恒大于常數，求的取值范圍.

Answer 1

（1）的最大值為；（2）實數的取值范圍是.

試題分析：（1）當時，將不等式對一切恒成立等價轉化為來處理，利用導數求處函數的最小值，進而建立有關參數的不等式進行求解，以便確定的最大值；（2）先根據題意得到，假設，得到，進而得到
，并構造新函數，利用函數在上為單調遞增函數并結合基本不等式法求出的取值范圍.
試題解析：（1）當時，不等式對一切恒成立，則有，
，令，解得，列表如下：

	減	極小值	增

故函數在處取得極小值，亦即最小值，即，
則有，解得，即的最大值是；
（2）由題意知，不妨設，
則有，即，
令，則，這說明函數在上單調遞增，
且，所以在上恒成立，
則有在在上恒成立，
當時，，則有，
即實數的取值范圍是.