Question

已知函數f（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax在區間(

1

4

，+∞)上存在單調遞增區間，則a的取值范圍是

a＞-

1

8

．

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，根據函數f（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax在區間(

1

4

，+∞)上存在單調遞增區間，可得f′(

1

2

)＞0，列式即可求解a的取值范圍．

解答：解：由f（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，
所以f′（x）=-x²+x+2a，
其對稱軸方程為x=

1

2

＞

1

4

，
因為函數f（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax在區間(

1

4

，+∞)上存在單調遞增區間，
所以f′(

1

2

)＞0，即-(

1

2

)2+

1

2

+2a＞0，解得a＞-

1

8

．
故答案為a＞-

1

8

．

點評：本題考查了函數的單調性與導數的關系，訓練了“三個二次”的結合，解答的關鍵是由函數f（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax在區間(

1

4

，+∞)上存在單調遞增區間列出含有a的不等式，是基礎題．