Question

設函數，g（x）=xcosx-sinx．
（1）求證：當x∈（0，π]時，g（x）＜0；
（2）存在x∈（0，π]，使得f（x）＜a成立，求a的取值范圍；
（3）若g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）對x∈（0，π]恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）轉化求函數g（x）在（0，π]上的最大值，利用函數的導數判斷單調性進而求解；
（2）依題意即轉化為求函數f（x）在（0，π]上的最小值，利用函數的導數判斷單調性進而求解；
（3）先表示出函數g（bx），將恒成立問題轉化為函數求最值問題，利用函數的導數判斷單調性進而求解，注意b的范圍的討論．
解答：解（1）因為當x∈（0，π]時，g'（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx≤0，
所以g（x）在（0，π]上單調遞減，（3分）
又g（0）=0，所以當x∈（0，π]時，g（x）＜0（4分）
（2）因為，
所以，
由（1）知，當x∈（0，π]時，xcosx-sinx＜0，所以f'（x）＜0（6分）
所以f（x）在（0，π]上單調遞減，則當x∈（0，π]時，f（x）_min=f（π）=1（8分）
由題意知，f（x）＜a在（0，π]上有解，所以a＞f（x）_min，從而a＞1（10分）
（3）由g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1），得sinbx≥bsinx（b≥-1）對x∈（0，π]恒成立，
①當b=-1，0，1時，不等式顯然成立（11分）
②當b＞1時，因為bx∈（0，bπ]，所以取，
則有sinbx=0＜bsinx，從而時不等式不恒成立（12分）
③當0＜b＜1時，由（Ⅱ）可知在（0，π]上單調遞減，而0＜bx＜x≤π，
∴，
∴sinbx＞bsinx成立（14分）
④當-1＜b＜0時，當x∈（0，π]時，0＜-bx＜x≤π，
則，∴sinbx＜bsinx不成立，
綜上所述，當b=-1或0≤b≤1時，有g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）對x∈（0，π]恒成立．（16分）
點評：本題考查用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性求得到函數的最值，掌握不等式恒成立時所取的條件，“轉化”是這類題目解決的“靈魂”．