Question

【題目】如圖是某神奇“黃金數(shù)學(xué)草”的生長圖．第1階段生長為豎直向上長為1米的枝干，第2階段在枝頭生長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成120°，第3階段又在每個(gè)枝頭各長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成120°，……，依次生長，直到永遠(yuǎn)．

（1）求第3階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；

（2）求第13階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）根據(jù)示意圖，計(jì)算出第階段、第階段生長的高度，即可求解出第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；

（2）考慮第偶數(shù)階段、第奇數(shù)階段“黃金數(shù)學(xué)草”高度的生長量之間的關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列求和完成第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度的計(jì)算.

（1）因?yàn)榈谝浑A段： ，

所以第階段生長：，第階段的生長：，

所以第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為：；

（2）設(shè)第個(gè)階段生長的“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為，則第個(gè)階段生長的“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為，第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為，

所以，

所以數(shù)列按奇偶性分別成公比為等比數(shù)列，

所以

.

所以第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為：.