【題目】（本題16分）某鄉鎮為了進行美麗鄉村建設，規劃在長為10千米的河流OC的一側建一條觀光帶，觀光帶的前一部分為曲線段OAB，設曲線段OAB為函數
，
（單位：千米）的圖象，且曲線段的頂點為
；觀光帶的后一部分為線段BC，如圖所示.
（1）求曲線段OABC對應的函數
的解析式；
（2）若計劃在河流OC和觀光帶OABC之間新建一個如圖所示的矩形綠化帶MNPQ，綠化帶由線段MQ，QP， PN構成，其中點P在線段BC上．當OM長為多少時，綠化帶的總長度最長？
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【題目】已知函數
.
（1）當
，
時，求滿足
的
的值；
（2）若函數
是定義在
上的奇函數.
①存在
，使得不等式
有解，求實數
的取值范圍；
②若函數
滿足
，若對任意
且
，不等式
恒成立，求實數
的最大值.
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【題目】某學習小組在暑期社會實踐活動中，通過對某商店一種商品銷售情況的調查發現：該商品在過去的一個月內（以30天計）的日銷售價格
（元）與時間
（天）的函數關系近似滿足
（
為正常數）.該商品的日銷售量
（個）與時間（天）部分數據如下表所示：
| 10 | 20 | 25 | 30 |
| 110 | 120 | 125 | 120 |
已知第10天該商品的日銷售收入為121元.
（I）求的值;
（II）給出以下二種函數模型：
①
，②
，
請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數來描述該商品的日銷售量與時間的關系，并求出該函數的解析式;
（III）求該商品的日銷售收入
（元）的最小值.
（函數
，在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增.性質直接應用.）
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【題目】如圖是某神奇“黃金數學草”的生長圖．第1階段生長為豎直向上長為1米的枝干，第2階段在枝頭生長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的
，且與舊枝成120°，第3階段又在每個枝頭各長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成120°，……，依次生長，直到永遠．
（1）求第3階段“黃金數學草”的高度；
（2）求第13階段“黃金數學草”的高度；
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【題目】已知函數
（0＜φ＜π）
（1）當φ
時，在給定的坐標系內，用“五點法”做出函數f（x）在一個周期內的圖象；
（2）若函數f（x）為偶函數，求φ的值；
（3）在（2）的條件下，求函數在[﹣π，π]上的單調遞減區間．
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【題目】已知函數
，對于任意的
，都有
, 當
時，
，且
.
( I ) 求
的值；
(II) 當
時，求函數的最大值和最小值；
(III) 設函數
，判斷函數g(x)最多有幾個零點，并求出此時實數m的取值范圍.
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【題目】某投資公司計劃投資
，
兩種金融產品，根據市場調查與預測，產品的利潤
與投資金額
的函數關系為
，產品的利潤
與投資金額的函數關系為
.（注：利潤與投資金額單位：萬元）
（1）該公司已有100萬元資金，并全部投入，兩種產品中，其中萬元資金投入產品，試把，兩種產品利潤總和表示為的函數，并寫出定義域；
（2）試問：怎樣分配這100萬元資金，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？
【答案】（1）
；（2）20，28.
【解析】
（1）設投入產品萬元，則投入產品
萬元，根據題目所給兩個產品利潤的函數關系式，求得兩種產品利潤總和的表達式.（2）利用基本不等式求得利潤的最大值，并利用基本不等式等號成立的條件求得資金的分配方法.
（1）其中萬元資金投入產品，則剩余的（萬元）資金投入產品，
利潤總和為：
，
（2）因為
，
所以由基本不等式得：
,
當且僅當
時，即：
時獲得最大利潤28萬.
此時投入A產品20萬元，B產品80萬元.
【點睛】
本小題主要考查利用函數求解實際應用問題，考查利用基本不等式求最大值，屬于中檔題.
【題型】解答題
【結束】
20
【題目】已知曲線
.
（1）求曲線在
處的切線方程；
（2）若曲線在點
處的切線與曲線
相切，求
的值.
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