Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O為AB中點，P，Q分別是AD和CD上的點，且滿足① = ，②直線AQ與BP的交點在橢圓E： + =1（a＞b＞0）上．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設R為橢圓E的右頂點，M為橢圓E第一象限部分上一點，作MN垂直于y軸，垂足為N，求梯形ORMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設AQ于BP交點C為（x，y），P（﹣2，y1），Q（x1 ， 2），
由題可知， ，
從而有 ，整理得 ，即為橢圓方程，
橢圓E的方程 ；
（Ⅱ）R（2，0），設M（x0 ， y0），有 ，
從而所求梯形面積 = ，
令t=2+x0 ， 2＜t＜4， ，
令u=4t3﹣t4 ， u'=12t2﹣4t3=4t2（3﹣t），
當t∈（2，3）時，u=4t3﹣t4單調遞增，
當t∈（3，4）時，u=4t3﹣t4單調遞減，則當t=3時S取最大值 ，
梯形ORMN面積的最大值
【解析】（Ⅰ）由題可知， ，整理即可求得橢圓E的方程；（Ⅱ）由 ，則梯形面積 = ，t=2+x0 ， 2＜t＜4， ，根據函數的單調性即可求得梯形ORMN面積的最大值．