Question

【題目】已知f（x）=3|x+2|﹣|x﹣4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）設(shè)m，n，k為正實(shí)數(shù)，且m+n+k=f（0），求證：mn+mk+nk≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=3|x+2|﹣|x﹣4|．

當(dāng)x＜﹣2時(shí)，﹣3（x+2）+（x﹣4）＞2，解得x＜﹣6．

∴x＜﹣6

當(dāng)﹣2≤x≤4時(shí)，3（x+2）+（x﹣4）＞2，解得x＞0，

∴0＜x≤4．

當(dāng)x＞4時(shí)，3（x+2）﹣（x﹣4）＞2，解得x＞﹣4，

∴x＞4．

綜上可得：不等式的解集是{x|x＜﹣6，或x＞0}．

（2）證明：m+n+k=f（0）=2，m，n，k為正實(shí)數(shù)，

∴（m+n+k）2=4，展開(kāi)可得：m2+n2+k2+2mn+2mk+2nk=4，

∴m2+n2+k2=4﹣2（mn+mk+nk），

∵m2+n2≥2mn，m2+k2≥2mk，n2+k2≥2nk，

∴m2+n2+k2≥mn+nk+mk，

∴4﹣2（mn+mk+nk）≥mn+nk+mk，

∴mn+mk+nk ，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=k= 時(shí)取等號(hào)

【解析】（1）f（x）=3|x+2|﹣|x﹣4|．對(duì)x分類(lèi)討論：當(dāng)x＜﹣2時(shí)；當(dāng)﹣2≤x≤4時(shí)；當(dāng)x＞4時(shí)，即可得出不等式的解集．（2）由m+n+k=f（0）=2，m，n，k為正實(shí)數(shù)，平方展開(kāi)可得：m2+n2+k2+2mn+2mk+2nk=4，m2+n2+k2=4﹣2（mn+mk+nk），利用重要不等式的性質(zhì)可得：m2+n2+k2≥mn+nk+mk，代入解出即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．