Question

設函數f（x）=1-x²+ln（x+1）
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞

kx

x+1

-x²（k∈N^*）在（0，+∞）上恒成立，求k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（-1，+∞），
函數f（x）的導數f'（x）=-2x+

1

x+1

，
令f'（x）＞0則

1

x+1

＞2x，
解得

-1- 3

2

＜x＜

-1+ 3

2

，
令f'（x）＜0則

1

x+1

＜2x，
解得x＞

-1+ 3

2

或x＜

-1- 3

2

，
∵x＞-1，
∴f（x）的單調增區間為（-1，

3 -1

2

），
單調減區間為（

3 -1

2

，+∞）；
（Ⅱ）不等式f（x）＞

kx

x+1

-x²
即1-x²+ln（x+1）＞

kx

x+1

-x2，即1+ln（x+1）＞

kx

x+1

，
即（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N^*）在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]-kx，則
g'（x）=2+ln（x+1）-k，
∵x＞0，∴2+ln（x+1）＞2，
若k≤2，則g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上遞增，
∴g（x）＞g（0）即g（x）＞1＞0，
∴（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N^*）在（0，+∞）上恒成立；
若k＞2則g（x）不為單調函數．
故k的最大值為2．