Question

有一個項數為10的實數等比數列{a_n}，S_n（n≤10）表示該數列的前n項和．當2≤n≤10時，若S_k，S₁₀，S₇成等差數列，求證a_k-1，a₉，a₆也成等差數列．

Answer 1

由題意，當q=1時，20a₁=ka₁+7a₁，∴k=13＞10，
此時s_k，s₁₀，s₇不成等差數列；
當q≠1時，s_k=

a1(1-qk)

1-q

，s₁₀=

a1(1-q10)

1-q

，s7=

a1(1-q7)

1-q

；
由2s₁₀=s_k+s₇得：2q¹⁰=q^k+q⁷，
即：2q⁸=q^k-2+q⁵，
∴2a₁q⁸=a₁q^k-2+a₁q⁵，
從而得：2a₉=a_k-1+a₆，
∴a_k-1，a₉，a₆也成差數列．