Question

已知數列{a_n}滿足a_n-2a_n-1-2^n-1=0，（n∈N^*，n≥2），a₁=1．
（1）求證：數列{

an

2n

}是等差數列；
（2）若S_n=a₁+a₂+…+a_n，且S_n+2ⁿ＞100恒成立，求n的最小值．

Answer 1

（1）a_n-2a_n-1-2^n-1=0，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

，
∴{

an

2n

}是以

1

2

為首項，

1

2

為公差的等差數列．       （4分）
（2）由（1）：

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

，
∴a_n=n•2^n-1（6分）
∴S_n=1•2°+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1①
則2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ②
①-②，得-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1•(1-2n)

1-2

-n•2n
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1（9分）
由S_n+2ⁿ＞100，
即（n-1）•2ⁿ+1+2ⁿ＞100恒成立，
得n•2ⁿ+1＞100恒成立，
∵{n•2ⁿ}是單增數列，且4•2⁴+1=65，5•2⁵+1=161，
∴n_min=5（12分）