Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（-1，0）．
（1）求向量

b

+

c

的長度的最大值；
（2）設α=

π

4

，且

a

⊥（

b

+

c

），求cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的運算法則求出

b

+

c

，利用向量模的平方等于向量的平方求出|

b

+

c

|的平方，利用三角函數的平方關系將其化簡，利用三角函數的有界性求出最值．
（2）利用向量垂直的充要條件列出方程，利用兩角差的余弦公式化簡得到的等式，求出值．

解答：解：（1）

b

+

c

=（cosβ-1，sinβ），則
|

b

+

c

|²=（cosβ-1）²+sin²β=2（1-cosβ）．
∵-1≤cosβ≤1，
∴0≤|

b

+

c

|²≤4，即0≤|

b

+

c

|≤2．
當cosβ=-1時，有|b+c|=2，
所以向量

b

+

c

的長度的最大值為2．
（2）由（1）可得

b

+

c

=（cosβ-1，sinβ），

a

•（

b

+

c

）=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos（α-β）-cosα．
∵

a

⊥（

b

+

c

），
∴

a

•（

b

+

c

）=0，即cos（α-β）=cosα．
由α=

π

4

，得cos（

π

4

-β）=cos

π

4

，
即β-

π

4

=2kπ±

π

4

（k∈Z），
∴β=2kπ+

π

2

或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．

點評：本題考查向量模的性質：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要條件；三角函數的平方關系、三角函數的有界性、兩角差的余弦公式．