Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函數(shù)
（1）求實數(shù)m的取值集合A
（2）當m取值集合A中的最小值時，定義數(shù)列{a_n}；滿足a₁=3，且a_n＞0，a_n+1=

-3f/(an)+9

-2，設
b_n=a_n-1，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）若c_n=na_n，數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，轉化為函數(shù)最值解決即可；
（2）由an+1=

-3f′(an)+9

-2，得a_n+1=3a_n-2，即a_n+1-1=3（a_n-1），由a₁-1=2及等比數(shù)列的定義可作出證明，利用等比數(shù)列的通項公式可求得a_n-1，進而可得a_n；
（3）由（2）可求cn=2n•3n-1+n，先利用錯位相減法求得Tn=1×30+2×31+3×32+…+n×3^n-1，然后再求S_n．

解答：（1）解：因為函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
只需f′（x）=-3x²+m在（0，1）滿足f′（x）≥0恒成立，即-3x²+m≥0，
∴m≥3，即A={m|m≥3}；
（2）證明：∵an+1=

-3f′(an)+9

-2，∴a_n+1=

-3(-3 a 2 n +3)+9

-2，
∴a_n+1=3a_n-2，∴a_n+1-1=3（a_n-1），即

bn+1

bn

=3，又a₁-1=2，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項為a₁-1=2，公比為3，
則an-1=2•3n-1，∴an=2•3n-1+1；
（3）由（2）可知cn=2n•3n-1+n，
令Tn=1×30+2×31+3×32+…+n×3^n-1，
3Tn=1×31+2×32+3×33+…+n×3n，
兩式相減求得Tn=

1+(2n-1)•3n

4

，
∴Sn=

1

2

+

(2n-1)．3n

2

+

n(n+1)

2

．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合、利用遞推式求數(shù)列通項、數(shù)列求和等知識，考查學生分析問題解決問題的能力，綜合性強，難度大．