Question

已知奇函數f(x)的定義域為R，且f(x)在［0，+∞)上是增函數，是否存在實數m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)對所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合條件的所有實數m的范圍，若不存在，說明理由。

Answer 1

符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4－2.

∵f(x)是R上的奇函數，且在［0，+∞)上是增函數，∴f(x)是R上的增函數。于是不等式可等價地轉化為f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),
即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos²θ－mcosθ+2m－2>0。
設t=cosθ,則問題等價地轉化為函數
g(t)=t²－mt+2m－2=(t－)²－+2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉化為函數g(t)在［0，1］上的最小值為正。
∴當<0,即m<0時，g(0)=2m－2>0m>1與m<0不符；
當0≤≤1時，即0≤m≤2時，g(m)=－+2m－2>0
4－2<m<4+2,∴4－2<m≤2.
當>1,即m>2時，g(1)=m－1>0m>1 ∴m>2
綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4－2.
另法(僅限當m能夠解出的情況) cos²θ－mcosθ+2m－2>0對于θ∈［0,］恒成立，
等價于m>(2－cos²θ)/(2－cosθ) 對于θ∈［0,］恒成立
∵當θ∈［0,］時，(2－cos²θ)/(2－cosθ) ≤4－2，
∴m>4－2.