Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1．(a＞b＞0)，其中短軸長和焦距相等，且過點M(2，

2

)．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若P（x₀，y₀）在橢圓C的外部，過P做橢圓的兩條切線PM、PN，其中M、N為切點，則MN的方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．已知點P在直線x+y-4=0上，試求橢圓右焦點F到直線MN的距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x 2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由

x2

2b2

+

y2

b2

=1，過點M（2，

2

），能導出橢圓方程．
（2）設P（x₀，y₀），則即x₀=4-y₀，因x+y-4=0與橢圓無交點，所以P在橢圓C的外部，MN所在直線方程為

x0x

8

+

y0y

4

=1，由此能求出橢圓右焦點F到直線MN的距離的最小值．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x 2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵

x2

2b2

+

y2

b2

=1，過點M（2，

2

），
∴

4

2b2

+

2

b2

=1，
∴b=2，a=2

2

，
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）設P（x₀，y₀），則x₀+y₀-4=0，即x₀=4-y₀，
∵x+y-4=0與橢圓無交點，∴P在橢圓C的外部，
∴MN所在直線方程為

x0x

8

+

y0y

4

=1，
即x₀x+2y₀y-8=0，
設所求距離為d，且F（2，0），
則d=

|2x0-8|

x02+4y02

=

|2y0|

5y02-8y0+16

=

2

16 y0 2 - 8 y 0  +5

=

2

( 4 y0 -1)2+4

，
∴當y₀=4時，d_min=1．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．