Question

某化工企業生產某種化工原料，在生產過程中對周邊環境將造成一定程度的污染，過去沒有采取任何治理污染的措施，依據生產和營銷的統計數據發現，該企業每季度的最大生產能力為2萬噸，且每生產x萬噸化工原料，獲得的純利潤y（百萬元）近似地滿足：y=（x+1）ln（x+1）．自2007年3月人民代表大會召開后，該企業認識到保護環境的重要性，決定投入資金進行的污染治理，計劃用于治理污染的資金總費用為y₁=2px（百萬元）（其中x為該工廠的生產量，p為環保指標參數，p∈（0，1]．
（I）試寫出該企業進行污染治理后的利潤函數f（x）；
（II）試問p控制在什么范圍內，該企業開始進行污染治理的第一個季度，在最大生產能力的范圍內始終不會出現虧損？

Answer 1

（I）由題意，該企業進行污染治理后的利潤函數為f（x）=y-y₁=（x+1）ln（x+1）-2px．（x＞0）．…（3分）
（II）f′（x）=ln（x+1）+1-2p．
令f′（x）=0，得x=e^2p-1-1．…（4分）
①當0＜2p≤1，即0＜p≤

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時，對x∈(0，2]，f′(x)＞0．
所以f（x）在[0，2]上為增函數，且f（x）≥f（0）=0．
即當0＜p≤

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時，對所有x∈（0，2]，都有（x+1）ln（x+1）≥2px．…（8分）
②當2p＞1，即

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＜p＜1時，e^2p-1-1＞0．
則當x∈（0，e^2p-1-1）?（0，2]時，f′（x）＜0．…（11分）
所以f（x）在（0，e^2p-1）上為減函數，且f（x）＜f（0）=0
則（x+1）ln（x+1）＜2px．…（13分）
綜合可知，當0＜p≤

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時，生產的第一季度始終不會出現虧損現象．…（14分）