Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)，
（1）若x=1為f（x）的極值點，求a的值；
（2）若y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區間[-2，4]上的最大值；
（3）當a≠0時，若f（x）在區間（-1，1）上不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導數，再根據x=1是f（x）的極值點得到：“f′（1）=0”，從而求得a值；
（2）先根據切線方程為x+y-3=0利用導數的幾何意義求出a值，再研究閉區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值與最小值．
（3）由題意得：函數f（x）在區間（-1，1）不單調，所以函數f′（x）在（-1，1）上存在零點．再利用函數的零點的存在性定理得：f′（-1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=x²-2ax+a²-1
∵x=1是f（x）的極值點，
∴f′（1）=0，即a²-2a=0，解得a=0或2；（3分）
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0上．∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上，∴2=

1

3

-a+a2-1+b又f′（1）=-1，
∴1-2a+a²-1=-1∴a²-2a+1=0，
解得a=1，b=

8

3

∴f(x)=

1

3

x2-x2+

8

3

，f′(x)=x2-2x
由f′（x）=0可知x=0和x=2是極值點．
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f(-2)=-4，f(4)=8
∴f（x）在區間[-2，4]上的最大值為8．（8分）
（3）因為函數f（x）在區間（-1，1）不單調，
所以函數f′（x）在（-1，1）上存在零點．
而f′（x）=0的兩根為a-1，a+1，區間長為2，
∴在區間（-1，1）上不可能有2個零點．
所以f′（-1）f′（1）＜0，∵a²＞0，
∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2．
又∵a≠0，∴a∈（-2，0）∪（0，2）．（12分）

點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、利用導數研究曲線上某點切線方程、函數的最值及其幾何意義、函數在某點取得極值的條件等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．