Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n，直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切于點（1，0）
（1）求直線l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的導函數），求函數h（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可，再根據直線l與g（x）的圖象相切，所以g（x）在點（1，0）的導函數值為1，建立方程組，解之即可求出g（x）的解析式；
（2）先利用導數研究出函數h（x）在（0，+∞）的單調性，連續函數在區間（0，+∞）內只有一個極值，那么極大值就是最大值．

解答：解：（1）直線l是函數f（x）=lnx在點（1，0）處的切線，故其斜率k=f′（1）=1，
所以直線l的方程為y=x-1．（2分）
又因為直線l與g（x）的圖象相切，
所以g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n在點（1，0）的導函數值為1．

g(1)=0 g′(1)=1

?

m=-1 n= 1 6

所以g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-x+

1

6

（6分）

（2）因為h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x²-x+1（x＞0）（7分）
所以h′(x)=

1

x

-2x-1=

1-2x2-x

x

=-

(2x-1)(x+1)

x

（9分）
當0＜x＜

1

2

時，h′（x）＞0；當x＞

1

2

時，h′（x）＜0（11分）
因此，當x=

1

2

時，h（x）取得最大值h(

1

2

)=

1

4

-ln2（12分）
所以函數h（x）的值域是(-∞，

1

4

-ln2]．（13分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題，同時考查了轉化與劃歸的思想，屬于基礎題．