Question

已知x，y∈（0，2），且xy=1，則

2

2-x

+

4

4-y

的最小值是

16+4 2

7

．

Answer 1

分析：把要求的式子通分化為

16-2x-4y

(2-x)(4-y)

，變形為1+

7

9-(2x+4y)

，利用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：∵x，y∈（0，2），且xy=1，
∴

2

2-x

+

4

4-y

=

16-2x-4y

(2-x)(4-y)

=

16-2x-4y

9-2x-4y

=1+

7

9-(2x+4y)

≥1+

7

9-2 8xy

=1+

7

9-4 2

=1+

7(9+4 2 )

49

=

16+4 2

7

，
即

2

2-x

+

4

4-y

≥

16+4 2

7

，當且僅當2x=4y 時，等號成立，
故答案為

16+4 2

7

．

點評：本題主要考查基本不等式的應用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關鍵，屬于基礎題．