Question

已知二次函數f（x）=3x²-3x，直線l₁：x=2和l₂：y=3tx（其中t為常數，且0＜t＜1），直線l₂與函數f（x）的圖象以及直線l₁、l₂與函數f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如圖中陰影所示，設這兩個陰影區域的面積之和為S（t）．
（Ⅰ）求函數S（t）的解析式；
（Ⅱ）定義函數h（x）=S（x），x∈R．若過點A（1，m）（m≠4）可作曲線y=h（x）（x∈R）的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）聯立直線與拋物線解析式，可得直線l₂與f（x）的圖象的交點的橫坐標，進而可得S（t）=

∫

t+1 0

[3tx-(3x2-3x)]dx+

∫

2 t+1

[(3x2-3x)-3tx]dx，化簡后可得答案．
（Ⅱ）依據定義，h（x）=（x+1）³-6x+2，x∈R，切點為M（x₀，y₀），利用導數法求出切線斜率，結合切線過點A（1，m），可得3(x0+1)2-6=

(x0+1)3-6x0+2-m

x0-1

，即2

x

3 0

-6x0+m=0有三個不等實根．利用導數法求出函數的極值，可得實數m的取值范圍．

解答： 解：（I）由

y=3x2-3x y=3tx

，得x²-（t+1）x=0，…（2分）
∴x₁=0，x₂=t+1．
∴直線l₂與f（x）的圖象的交點的橫坐標分別為0，t+1．
∵0＜t＜1，
∴1＜t+1＜2．
∴S（t）=

∫

t+1 0

[3tx-(3x2-3x)]dx+

∫

2 t+1

[(3x2-3x)-3tx]dx
=

[ 3(t+1) 2 x2-x3]

t+1 0

+

[x3- 3(t+1) 2 x2]

2 t+1

=（t+1）³-6t+2
（II）依據定義，h（x）=（x+1）³-6x+2，x∈R，
則h'（x）=3（x+1）²-6．…（7分）
因為m≠4，則點A（1，m）不在曲線y=h（x）上．
過點A作曲線y=h（x）的切線，
設切點為M（x₀，y₀），
則3(x0+1)2-6=

(x0+1)3-6x0+2-m

x0-1

，
化簡整理得2

x

3 0

-6x0+m=0有三個不等實根．
設g(x0)=2

x

3 0

-6x0+m，
則g′(x0)=6

x

2 0

-6．由g′(x0)＞0，得x0＞1或x0＜-1．
所以g（x₀）在區間（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞增．…（10分）
所以，當x₀=-1時，函數g（x₀）取極大值；
當x₀=-1時，函數g（x₀）取極小值；…（11分）
因此，關于x₀的方程2

x

3 0

-6x0+m=0有三個實根的充要條件是

g(-1)＞0 g(1)＜0

，…（12分）
即

m+4＞0 m-4＜0

，即-4＜m＜4．
故實數m的取值范圍是（-4，4）．  …（14分）

點評：本題考查的知識點是導數法求過定點的切線方程，導數法求函數的極值，積分，運算量大，綜合性強，屬于難題．