Question

一塊扇形鐵皮OPQ半徑為1，圓心角為

π

3

，C為扇形弧上的一個動點，現剪下一個矩形ABCD，如圖，若∠COP=α，矩形面積記為f（α）
（1）求f（α）的解析式
（2）求當α為何值時矩形ABCD面積最大，并求此最大值．

Answer 1

分析：（1）先把矩形的各個邊長用角α表示出來，進而表示出矩形的面積；
（2）化簡函數，利用角α的范圍，結合正弦函數的性質可求矩形面積的最大值．

解答：解：（1）在Rt△OBC中，OB=OC•cosα=cosα，BC=OC•sinα=sinα
在Rt△OAD中，

DA

OA

=tan60°=

3

∴OA=

3

3

BC=

3

3

sinα
∵AB=OB-OA=cosα-

3

3

sinα
∴f（α）=S=AB•BC=（cosα-

3

3

sinα）•sinα（　　）；
（2）f（α）=sinαcosα-

3

3

sin²α=

3

3

sin（2α+

π

6

）-

3

6

∵0＜α＜

π

3

，∴

π

6

＜2α+

π

6

＜

5π

6

∴2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

時，矩形ABCD面積最大，最大值為

3

6

．

點評：本題考查在實際問題中建立三角函數模型，解題關鍵是根據圖形建立起三角模型，將三角模型用所學的恒等式變換公式進行化簡，屬于中檔題．