Question

有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個扇形中切割下一個內接矩形，即矩形的各個頂點都在扇形的半徑或弧上（如圖所示），求這個內接矩形的最大面積．

Answer 1

分析：本題入手要解決好兩個問題，
（1）內接矩形的放置有兩種情況，如圖所示，應該分別予以處理；
（2）求最大值問題這里應構造函數，怎么選擇便于以此表達矩形面積的自變量．

解答：解：如圖（1）設∠FOA=θ，則FG=Rsinθ，
在△OEF中，EF=

2Rsin(600-θ)

3

．
又設矩形EFGH的面積為S，那么S=FG•EF=

2R2sin(600-θ)sinθ

3

=

R2

3

[cos(2θ-600)-

1

2

]
又∵0°＜θ＜60°，故當cos（2θ-60°）=1，即θ=30°時，S取最大值

R2

3

(1-

1

2

)=

3 R2

6

如圖（2），設∠FOA=θ，則EF=2Rsin（30°-θ），在△OFG中，∠OGF=150°，故

FG

sinθ

=

R

sin1500

即FG=2Rsinθ
設矩形的面積為S．
那么S=EFFG=4R²sinθsin（30°-θ）
=2R²[cos（2θ-30°）-cos30°]=2R2[cos(2θ-300)-

3

2

]
又∵0＜θ＜30°，故當cos（2θ-30°）=1即θ=15°時，S取最大值R2(2-

3

)，顯然，

3

6

R2＞(2-

3

)R2，所以內接矩形的最大面積為

3

6

R2．

點評：本題關鍵是如何利用角θ表示矩形的長與寬，合理地把長與寬放在三角形中，利用正弦定理或三角定義來表示．