Question

有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個(gè)扇形中切割下一個(gè)內(nèi)接矩形，即矩形的各個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上（如圖所示），求這個(gè)內(nèi)接矩形的最大面積．

Answer 1

解：如圖（1）設(shè)∠FOA=θ，則FG=Rsinθ，
在△OEF中，．
又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么
=
又∵0°＜θ＜60°，故當(dāng)cos（2θ-60°）=1，即θ=30°時(shí)，S取最大值
如圖（2），設(shè)∠FOA=θ，則EF=2Rsin（30°-θ），在△OFG中，∠OGF=150°，故
即FG=2Rsinθ
設(shè)矩形的面積為S．
那么S=EFFG=4R²sinθsin（30°-θ）
=2R²[cos（2θ-30°）-cos30°]=
又∵0＜θ＜30°，故當(dāng)cos（2θ-30°）=1即θ=15°時(shí)，S取最大值，顯然，，所以內(nèi)接矩形的最大面積為．
分析：本題入手要解決好兩個(gè)問(wèn)題，
（1）內(nèi)接矩形的放置有兩種情況，如圖所示，應(yīng)該分別予以處理；
（2）求最大值問(wèn)題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面積的自變量．
點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是如何利用角θ表示矩形的長(zhǎng)與寬，合理地把長(zhǎng)與寬放在三角形中，利用正弦定理或三角定義來(lái)表示．