Question

已知函數f（x）的定義域為N^*，且f（x+1）=f（x）+x，f（1）=0．
（1）求f（x）的解析式．
（2）設，問是否存在最大的正整數m，使得對任意的n∈N*均有恒成立？若存在，求出m值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=n，可得f（n+1）-f（n）=n，利用疊加法，可求函數f（x）的解析式；
（2）先裂項=2（）（n≥2），再求和，確定S_n（n≥2）遞增，可得（S_n）_min=a₂=1，對任意的n∈N^*均有恒成立，轉化為，由此可得結論．
解答：解：（1）令x=n，則由f（x+1）=f（x）+x可得f（n+1）-f（n）=n
∴f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+…+[f（n）-f（n-1）]=1+2+…+（n-1）=（n≥2）
n=1時，f（1）=0也滿足上式
∴
∴f（x）=；
（2）=2（）（n≥2）
∴S_n=2[（1-）+（）+…+（）]=2-
∵n≥2時，
∴S_n（n≥2）遞增，
∴（S_n）_min=a₂=1
∵對任意的n∈N^*均有恒成立
∴
∴m＜2012
∴最大的正整數m為2011．
點評：本題考查函數的解析式，考查數列與函數的關系，考查疊加法，考查裂項法求數列的和，考查恒成立問題，綜合性強．