【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，過
軸正方向上一點
任作一直線，與拋物線
相交于
兩點，一條垂直于
軸的直線分別與線段
和直線
交于點
.
(1) 若
，求
的值；
(2) 若
，
為線段的中點，求證: 直線
與該拋物線有且僅有一個公共點.
(3) 若，直線的斜率存在，且與該拋物線有且僅有一個公共點，試問是否一定為線段的中點? 說明理由.
【答案】(1) 
；(2) 證明見解析；(3)是，理由見解析.
【解析】
（1）設
，
，
，則
，聯立直線方程和拋物線方程，消去
后利用韋達定理可得關于
的方程，從而可求的值.
（2）設
，用
表示直線
的方程，聯立該直線的方程和拋物線的方程后可得該方程組有且只有一組解，故直線與拋物線相切.
（3）設
，利用（2）的結果可得切線的方程，求出
的坐標和直線
的方程后，聯立直線的方程和拋物線的方程，消去后利用韋達定理可求
中點的橫坐標，可證它就是的橫坐標，從而一定為線段的中點.
（1） 設，，
由
得
，故
，從而
.
又，故
，解得或
，
舍去負值，得.
（2）由（1）得，
，故
，故
.
設在
上，且滿足
，又
，
故直線的方程為
，
而
.
故
，
由
得
，故方程組有唯一解，
故直線與該拋物線有且僅有一個公共點.
（3）設，這里
，
由（2）知過
與
有且僅有一個公共點的斜率存在的直線必為
.
令
得
，故
，
又
，所以
.
由
，故
這樣是的中點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將數列
中的所有項按第一行排3項，以下每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：
……
記表中的第一列數
，
，
，…，構成數列
.
（1）設
，求m的值；
（2）若
，對于任何
，都有
，且
.求數列的通項公式.
（3）對于（2）中的數列，若上表中每一行的數按從左到右的順序均構成公比為q（
）的等比數列，且
，求上表中第k（
）行所有項的和
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝2x－
，x∈(0，1]．
(1)當a＝－1時，求函數y＝f(x)的值域；
(2)若函數y＝f(x)在x∈(0，1]上是減函數，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學，18名男同學中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.
（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結果）
（2）如果隨機抽取的7名同學的數學，物理成績（單位：分）對應如下表：
學生序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
數學成績 | 60 | 65 | 70 | 75 | 85 | 87 | 90 |
物理成績 | 70 | 77 | 80 | 85 | 90 | 86 | 93 |
①若規定85分以上（包括85分）為優秀，從這7名同學中抽取3名同學，記3名同學中數學和物理成績均為優秀的人數為
，求的分布列和數學期望；
②根據上表數據，求物理成績
關于數學成績
的線性回歸方程（系數精確到0.01）；若班上某位同學的數學成績為96分，預測該同學的物理成績為多少分？
附：線性回歸方程
，
其中
，
.
|
|
|
|
76 | 83 | 812 | 526 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在一個給定的正
邊形的頂點中隨機地選取三個不同的頂點，任何一種選法的可能性是相等的，則正多邊形的中心位于所選三個點構成的三角形內部的概率為______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義符號函數
，已知
，
.
（1）求
關于
的表達式，并求的最小值.
（2）當
時，函數
在
上有唯一零點，求的取值范圍.
（3）已知存在，使得
對任意的
恒成立，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于項數為m（
且
）的有窮正整數數列
，記
，即
為
中的最小值，設由
組成的數列
稱為的“新型數列”.
（1）若數列為2019，2020，2019，2018，2017，請寫出的“新型數列”的所有項；
（2）若數列滿足
，且其對應的“新型數列”項數
，求的所有項的和；
（3）若數列的各項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求符合條件的及其對應的“新型數列”.
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