Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，y＞0)的離心率為

3

2

，A、B為它的左、右焦點，過一定點N（1，0）任作兩條互相垂直的直線與C分別交于點P和Q，且|

PA

+

PB

|的最小值為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線NP、NQ，使得向量

PA

+

PB

與

QA

+

QB

互相垂直？若存在，求出點P、Q的橫坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設O為坐標原點，易知PO為△PAB的中線，從而可得|

PA

+

PB

|=2|

PO

|，易知當點P在短軸上定點時|

PA

+

PB

|取得最小值2，由此可求得b值，再由離心率及a²=b²+c²可求得a；
（2）易知直線NP，NQ斜率均存在，設兩直線方程分別為：L_NP：y=k（x-1），LNQ：y=-

1

k

(x-1)，由

PA

+

PB

=2

PO

，

QA

+

QB

=2

QO

（O為原點），知只需滿足

OP

⊥

OQ

即可，由KOP•KOQ=

k(xP-1)

xP

•

- 1 k (xQ-1)

xQ

=-1，可得x_P+x_Q=1①，根據點P、Q在橢圓上得，KOP•KOQ=

4-xP2

2xP

•

4-xQ2

2xQ

=-1，聯立①可得xPxQ=-

2

3

②，可判斷①②構成方程組有解，從而可得結論；

解答：解：（1）設O為坐標原點，則PO為△PAB的中線，
∴

PA

+

PB

=2

PO

，|

PA

+

PB

|=2|

PO

|，
因此，當P在短軸上頂點時，|

PA

+

PB

|取得最小值2，即2b=2，解得b=1，
依題意得：

c

a

=

3

2

，即

a2-b2

a

=

3

2

，即

a2-1

a

=

3

2

，∴a²=4，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1(y＞0)；
（2）由題意知直線NP，NQ斜率均存在，設為K_NP=k，KNQ=-

1

k

，
則此兩直線方程分別為：L_NP：y=k（x-1），LNQ：y=-

1

k

(x-1)，
又

PA

+

PB

=2

PO

，

QA

+

QB

=2

QO

（O為原點），因此，只要滿足

OP

⊥

OQ

即可，
故KOP•KOQ=

k(xP-1)

xP

•

- 1 k (xQ-1)

xQ

=-1，化簡為：x_P+x_Q=1，
由半橢圓方程得：yP=

4-xP2

2

，yQ=

4-xQ2

2

，則KOP•KOQ=

4-xP2

2xP

•

4-xQ2

2xQ

=-1，即

16-4(xP2+xQ2)+xP2xQ2

=-4x_Px_Q，
令x_Px_Q=t≤0且x_P+x_Q=1，故

16-4(1-2t)+t2

=-4t，
化簡為：15t²-8t-12=0，解得t=-

2

3

或t=

6

5

（舍去），∴

xP+xQ=1 xPxQ=- 2 3

，
解之得：

xP= 3+ 33 6 xQ= 3- 33 6

或

xP= 3- 33 6 xQ= 3+ 33 6

，
因此，直線NP、NQ能使得

PA

+

PB

與

QA

+

QB

互相垂直．

點評：本題考查橢圓的標準方程、直線斜率及其方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生對問題的探究能力及解決問題的能力．