Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）且

a

與

b

滿足關(guān)系式：|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|（其中k＞0）．
（1）用k表示

a

•

b

；
（2）證明：

a

與

b

不垂直；
（3）當(dāng)

a

與

b

的夾角為60°時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得|

a

|=|

b

|=1，把已知條件平方可得結(jié)果；
（2）由（1）的結(jié)果結(jié)合基本不等式可證

a

•

b

≥

1

2

，故不垂直；
（3）由數(shù)量積的定義結(jié)合前面所求可建立關(guān)于k的方程，解之即可．

解答：解：（1）∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，|

a

|=|

b

|=1，
∴(k

a

+

b

)2=3(

a

-k

b

)2，化簡(jiǎn)可得：
8k

a

•

b

=2k2+2，故

a

•

b

=

1

4k

(k2+1)（k＞0）；
（2）由（1）可得

a

•

b

=

1

4k

(k2+1)（k＞0），
由基本不等式可得

a

•

b

=

1

4k

(k2+1)=

1

4

（k+

1

k

）≥

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)，故

a

•

b

≠0，
故

a

與

b

不垂直；
（3）當(dāng)

a

與

b

的夾角為60°時(shí)，

a

•

b

=|

a

||

b

|cos60°=

1

2

，
又

a

•

b

=

1

4k

(k2+1)（k＞0），
∴

1

4k

(k2+1)=

1

2

，解得k=1

點(diǎn)評(píng)：本題為向量的綜合應(yīng)用，涉及向量的模長(zhǎng)夾角和基本不等式，屬中檔題．