Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點為F₁，F₂，點A在其右半支上，若$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0，若∠AF₁F₂∈（0，$\frac{π}{12}$），則該雙曲線的離心率e的取值范圍為（1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 設∠AF₁F₂=θ，由題意，|AF₂|=2csinθ，|AF₁|=2ccosθ，點A在其右半支上，可得2ccosθ-2csinθ=2a，求出離心率，再利用三角函數知識，即可求解．

解答 解：設∠AF₁F₂=θ，則
由題意，|AF₂|=2csinθ，|AF₁|=2ccosθ，
∵點A在其右半支上，
∴2ccosθ-2csinθ=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}$，
∵∠AF₁F₂∈（0，$\frac{π}{12}$），
∴θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），
∴cos（θ+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴e∈（1，$\sqrt{2}$），
故答案為（1，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查雙曲線的定義與性質，考查三角函數知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．