Question

12．已知函數f（x）=log_a（x²-3ax）對任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，+∞），x₁≠x₂時都滿足$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{3}$]
• C． （0，$\frac{1}{6}$）
• D． （$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 通過討論a的范圍，結合函數的單調性問題轉化為a＜$\frac{x}{3}$在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：a＞1時，f（x）遞增，顯然不滿足$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
0＜a＜1時，只需g（x）=x²-3ax＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
且g（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
即a＜$\frac{x}{3}$在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立且對稱軸$\frac{3a}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
故a＜$\frac{1}{6}$，
故a的范圍是（0，$\frac{1}{6}$），
故選：C．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查對數函數的性質，是一道中檔題．