Question

已知f（x）是定義域為R的奇函數，圖象關于x=1對稱，f（x）=x（0＜x≤1），y=-

1

x

-a．在[-10，10]上有10個零點，求a取值范圍．

Answer 1

考點：函數的零點

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：根據f（x）的圖象關于x=1對稱得f（1+x）=f（1-x），由f（x）是R上的奇函數求出函數的周期，再畫出f（x）和y=

1

x

的圖象（第一象限部分），由圖得函數y=f（x）-

1

x

-a在區間[-10，10]上有10個零點的條件，列粗不等式組求出實數a的取值范圍．

解答： 解：因為f（x）的圖象關于x=1對稱，所以f（1+x）=f（1-x）
因為f（x）是R上的奇函數，所以f（x+1）=-f（x-1）．
所以f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
則f（x）是周期為4的函數，
由f（x）=x（0＜x≤1）畫出y=f（x）和y=

1

x

的圖象（第一象限部分）：
．
因為函數y=f（x）-

1

x

-a在區間[-10，10]上有10個零點，
所以y=f（x）與y=

1

x

+a在區間[-10，10]上有10個不同的交點，
因為y=f（x）與y=

1

x

是奇函數，所研究第一象限的部分交點問題即可，
而y=

1

x

+a的圖象是由y=

1

x

的圖象上下平移得到，
由圖得，向上平移時保證圖象第三象限的部分在x軸的下方，則第一象限的部分有4個交點，
第三象限的部分有6個交點，
同理向下平移時保證圖象第一象限的部分在x軸的上方，則第一象限的部分有6個交點，
第三象限的部分有4個交點，
即

- 1 10 +a≤0 1 10 +a≥0

，解得-

1

10

≤a≤

1

10

點評：本題考查函數的周期性、奇偶性、對稱性的綜合應用，圖象平移問題，以及反比列函數的圖象，考查數形結合，數形結合是高考中常用的方法，屬于難題