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如圖,已知圓錐體SO的側面積為15π,底面半徑OA和OB互相垂直,且OA=3,P是母線BS的中點.
(1)求圓錐體的體積;
(2)異面直線SO與PA所成角的大小(結果用反三角函數表示).

【答案】分析:(1)根據圓錐側面積公式,結合題中數據列式,可得圓錐的母線長,再用勾股定理算出高的長度,最后用圓錐體積公式可得該圓錐的體積.
(2)取OB中點H,連接PH、AH,在△POB中,利用中位線定理,得到PH∥SO,故∠APH(或其補角)即為直線SO與PA所成角.在Rt△AOH中,計算出AH的長,最后在Rt△PAH中,利用正切的定義,得到異面直線SO與PA所成角的大小為arctan
解答:解:(1)∵圓錐體SO的側面積為15π,底面半徑OA=3,
∴π•OA•SB=15π,得SB=5
Rt△SOB中,SO==4,即圓錐的高為4
圓錐體的體積為V=π×32×4=12π
(2)取OB中點H,連接PH、AH
∵△POB中,PH為中位線
∴PH∥SO,PH=SO=2
故∠APH(或其補角)即為直線SO與PA所成角
∵SO⊥平面AOB,PH∥SO,
∴PH⊥平面AOB,可得PH⊥AH
∵△AOH中,AO⊥BO,HO=BO=
∴AH==
∴Rt△PAH中,tan∠APH==,得∠APH=arctan(銳角),
因此,異面直線SO與PA所成角的大小為arctan
點評:本題給出圓錐一條母線的中點與底面圓上一點的連線,要我們求它與高線所成的角,著重考查了空間平行垂直的位置關系和異面直線所成角的求法,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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