Question

【題目】已知函數，，．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若函數在區間上的最小值是，求的值；

（3）設是函數圖象上任意不同的兩點，線段的中點為，直線的斜率為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調增區間是；（2）；（3）見解析.

【解析】

試題（1）求出的導數，導數大于，即可求函數的增區間；

（2）對進行分類討論，分別求出各種情況下的函數在上的最小值令其為，解方程求得的值；

（3）對于當時，先把具體出來，然后求導函數，得到，在利用斜率公式求出過這兩點的斜率公式，利用構造函數并利用構造函數的單調性比較大小．

試題解析： （1）解：，則，，

∴函數的單調增區間是；

（2）解：在上，分如下情況討論：

1．當時，，函數單調遞增，其最小值為，這與函數在上的最小值是相矛盾；

2．當時，函數在單調遞增，其最小值為，同樣與最小值是相矛盾；

3．當時，函數在上有，單調遞減，在上有，單調遞增，

∴函數的最小值為，得．

4．當時，函數在上有，單調遞減，其最小值為，與最小值是相矛盾；

5．當時，顯然函數在上單調遞減，其最小值為，與最小值是相矛盾．

綜上所述，的值為．

（3）證明：當時，,

又,不妨設，要比較與的大小，

即比較與的大小，又因為，

所以即比較與的大小．

令，則∴在上是增函數．

又，∴，，即．