Question

判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由.

(1)y=;

(2)y=x²-2|x|-1.

Answer 1

思路分析:判斷函數(shù)的單調(diào)性,首先必須確定函數(shù)的定義域,而后在定義域內(nèi)確定單調(diào)遞增、遞減區(qū)間.含絕對值的函數(shù)應(yīng)先將原函數(shù)化為分段函數(shù),在各自的分段區(qū)間內(nèi)確定遞增、遞減區(qū)間.

解:(1)由題意3-2x-x²≥0,解得-3≤x≤1,

故函數(shù)y=的定義域是[-3,1].

∵3-2x-x²=-(x+1)₂+4,

∴由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,此函數(shù)在[-3,-1] 上是增函數(shù),在[-1,1]是減函數(shù).

           圖1-3-3

(2)由題意,y=x²-2|x|-1=x²-2x-1=

它的圖象如圖1-3-3所示,可知此函數(shù)在區(qū)間(-∞,-1和[0,1]上是減函數(shù),在區(qū)間[-1, 0]和-∞,-1)上是增函數(shù).

說明:利用基本函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的圖象是判定函數(shù)單調(diào)性的常用方法.對于(1),是一個復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性的問題,y=可以看作是由y=和u=3-2x-x²兩個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),由基本函數(shù)的性質(zhì)可以得到復(fù)合函數(shù)的性質(zhì).

若u=g(x)在[a,b]上是單調(diào)增(減)函數(shù),y=f(u)在區(qū)間[g(a),g(b)]或[g(b),g(a)]上是單調(diào)增(減)函數(shù),那么復(fù)合函數(shù)y= y=f[a,b]在[a,b]上一定是單調(diào)函數(shù),并且有以下結(jié)論.

函數(shù)	u=g(x)	y=f(u)	y=f[g(x)]
函數(shù)的單調(diào)性	增函數(shù)	增函數(shù)	增函數(shù)
	增函數(shù)	減函數(shù)	減函數(shù)
	減函數(shù)	增函數(shù)	減函數(shù)
	減函數(shù)	減函數(shù)	增函數(shù)

這一規(guī)律類似于我們熟悉的正負數(shù)的乘法符號法則,事實上,如果把“增”看成“正”,把“減”看成“負”,則“正正為正”,“負負為正”,分別與“增增為增”,“減減為減”相類似;“正負為負”,“負正為負”分別與“增減為減”,“減增為減”相類似,這樣一來,就容易記住了.

判斷函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)在定義域的范圍內(nèi),本題易忽視定義域,這將導(dǎo)致解題失誤,因為單調(diào)性是在定義域內(nèi)定義的.