Question

【題目】將邊長為正整數m、n的矩形劃分成若干邊長均為正整數的正方形，每個正方形的邊均平行于矩形的相應邊，試求這些正方形邊長之和的最小值.

Answer 1

【答案】

【解析】

記所求最小值為，可以證明.（*）

事實上，不妨設.

（1）對m歸納，可證明存在一種合乎題意的分法，使所得正方形邊長之和恰為.

當m=1,時，命題顯然成立.

假設當時，結論成立.當時，若，則命題顯然成立，若，從矩形ABCD中切去正方形（如圖）.由歸納假設，矩形有一種分法使得所得正方形邊長之和恰為.

于是，原矩形ABCD有一種分法使得所得正方形邊長之和為.

（2）對m歸納可以證明（*）成立.

當m=1時，由于n=1，顯然.

假設當時，對任意，有.

若，當時，顯然

當時，設矩形ABCD按要求分成了p個正方形，其邊長分別為.不妨設.

顯然，或.

若，則在AD與BC之間的與AD平行的任一直線至少穿過二個分成的正方形（或其邊界），于是不少于AB與CD之和.

故.

若，則一個邊長分別為m-n和n的矩形可按題目要求分成邊長分別為的正方形，由歸納假設.

從而，

于是，當m=k+1時，

再由（1）可知，.