Question

（本小題滿分12分） 設為數列的前項和，且對任意時，點都在函數的圖象上。

（1）求數列的通項公式；

（2）設，求數列的前項和的最大值。

 

Answer 1

（1） ；（2）數列的前項和的最大值為．

【解析】

試題分析：（1）將點的坐標代入函數得，當時，， 將兩等式相減得： ，即，這是一個公比為，首項為的等比數列，由等比數列的通項公式得其通項公式.（2）據（1）可得 ，從而得，顯然數列是以為首項，公差為的等差數列，且單調遞減，所以將前面為正的所有項相加即為和的最大值.

試題解析：（1）因為點都在函數的圖象上．

所以， 1分

當時，，， 2分

當時，， 3分

所以 ， 4分

，

是公比為，首項為的等比數列，

； 5分

（2） 因為是公比為，首項為的等比數列，

所以， 6分

∴， 7分

∵，

∴數列是以為首項，公差為的等差數列，且單調遞減， 8分

由， 9分

所以，即，

因為，，

∴， 11分

數列的前項和的最大值為． 12分

考點：1、等差數列與等比數列；2、最值問題.