Question

在等腰直角△ABC中，∠A=90°，BC=3，△ABC中排列著內(nèi)接正方形，如圖所示，若正方形的面積依次為S₁，S₂，…，S_n，…（從大到小），其中n∈N^*，則

lim

n→∞

(S1+S2+…+Sn)=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意可得S₁，S₂，…，S_n，…構(gòu)成1為首項(xiàng)，

1

9

為公比的等比數(shù)列，可求各項(xiàng)和．

解答： 解：設(shè)第一個(gè)正方形的邊長為x，
則由相似三角形可得

x

3

=

3 2 -x

3 2

，
解得x=1，∴S₁=1，
再由相似三角形可得S₁，S₂，…，S_n，…
構(gòu)成1為首項(xiàng)，

1

9

為公比的等比數(shù)列，
∴

lim

n→∞

(S1+S2+…+Sn)=

S1

1-q

=

1

1- 1 9

=

9

8

故答案為：

9

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查無窮遞縮等比數(shù)列的所有項(xiàng)和，屬基礎(chǔ)題．