Question

在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于點E，求證：

(1)BD₁⊥平面ACB₁；

(2).

Answer 1

證明：(1)我們先證明BD₁⊥AC：

∵,,

∴

.

∴BD₁⊥AC.同理可證BD₁⊥AB₁, 于是BD₁⊥平面ACB₁.

(2)設底面正方形的對角線AC、BD交于點M, 則, 即對于空間任意一點O, 設,,,, 則上述等式可改寫成2(m-b)=d₁-b₁或b₁+2m=d₁+2b.記.此即表明, 由e向量所對應的點E分線段B₁M及D₁B各成λ(=2)之比.所以點E既在線段B₁M面ACB₁上又在線段D₁B上, 所以點E是D₁B與平面ACB₁的交點, 此交點E將D₁B分成2與1之比, 即D₁E:EB=2:1, 即.