Question

已知數列{a_n}的前n項為和S_n，點在直線上．數列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項和為153．
（Ⅰ）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設，數列{c_n}的前n和為T_n，求使不等式對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值．
（Ⅲ）設是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把點點代入直線方程，進而求得，則S_n可得．進而根據a_n=S_n-S_n-1求得a_n．整理b_n+2-2b_n+1+b_n=0得b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，判斷出{b_n}為等差數列根據b₃和b₇求得公差，進而根據等差數列的通項公式求得b_n．
（Ⅱ）先用裂項法求得T_n，進而求得T_n-T_n-1＞0，推知T_n單調遞增，進而求得T_n的最小值，則k的范圍可得．
（Ⅲ）把（1）中求得的b_n和a_n代入函數 解析式，分別看m為奇數和偶數時利用f（m+15）=5f（m）求得m，最后綜合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由題意，得
故當n≥2時，
注意到n=1時，a₁=S₁=6，而當n=1時，n+5=6，
所以，a_n=n+5（n∈N^*）．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
所以{b_n}為等差數列
于是
而
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）．
（Ⅱ）=
所以，=
由于，
因此T_n單調遞增，故
令
（Ⅲ）
①當m為奇數時，m+15為偶數．
此時f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
所以3m+47=5m+25，m=11．
②當m為偶數時，m+15為奇數．
此時f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，
所以（舍去）．
綜上，存在唯一正整數m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．
點評：本題主要考查了數列的應用．數列題是高考中常考的題型，常與函數、不等式、指數函數、冪數函數綜合考查，平時應作為重點復習．