Question

已知a＞1，b＞1，則

a2

b-1

+

b2

a-1

的最小值為（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

Answer 1

分析：利用換元法，令m=b-1，n=a-1，而a＞1，b＞1，則m＞0，n＞0，a=1+n，b=1+m，

a2

b-1

+

b2

a-1

=

(1+n)2

m

+

(1+m)2

n

=

n2

m

+

1

m

+

m2

n

+

1

n

+

2n

m

+

2m

n

，利用均值不等式可求出最小值．

解答：解：令m=b-1，n=a-1，而a＞1，b＞1
則m＞0，n＞0，a=1+n，b=1+m
∴

a2

b-1

+

b2

a-1

=

(1+n)2

m

+

(1+m)2

n

=

n2

m

+

1

m

+

m2

n

+

1

n

+

2n

m

+

2m

n

≥2

n2 m × 1 m

+2

m2 n × 1 n

+4=

2n

m

+

2m

n

+4
≥8
當(dāng)且僅當(dāng)m=m=1時(shí)取等號(hào)
∴

a2

b-1

+

b2

a-1

的最小值為8
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵注意等號(hào)成立的條件，屬于中檔題．