Question

已知函數f（x）=|1-2^x|（x∈R）
（Ⅰ）當a≠b，且f（a）=f（b）時，求2^a+2^b的值．
（Ⅱ）當函數y=f（x）的定義域為[a，b]（b＞a＞0）時，其值域為[1，3]，求實數a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（a）=f（b），建立方程關系，即可求出2^a+2^b的值．
（Ⅱ）利用函數的定義域，以及值域的關系，確定函數的單調性，解條件方程即可．

解答：解：（Ⅰ）由f（a）=f（b）得：|1-2^a|=|1-2^b|，
∴1-2^a=1-2^b或1-2^a=2^b-1，
即2^a=2^b或2^a+2^b=2，
∵a≠b，
∴2^a≠2^b，
∴2^a+2^b=2．
（Ⅱ）∵x＞0，∴f（x）=2^x-1．
又函數f（x）=2^x-1在（0，+∞）是增函數，
∴函數f（x）在[a，b]（b＞a＞0）上單調遞增，
∵函數在[a，b]上的值域為[1，3]，
則

f(a)=1 f(b)=3

，
即

2a-1=1 2b-1=3

，
解得：

a=1 b=2

．
故a=1．b=2．

點評：本題主要考查與指數函數有關的綜合問題，要使熟練掌握指數函數的圖象和性質，考查學生的運算和推理能力．（本題也可以使用數形結合來解決）．