Question

【題目】已知，滿足，且的兩實根之積為4．

（1）求的解析式；

（2）求函數，在上的最大值（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=x2-4x+4（2）g（x）max=

【解析】

（1）利用求得的對稱軸，進而求得，利用根與系數關系求得，進而求得函數的解析式.

（2）首先化簡的解析式，求得其對稱軸為，根據對稱軸和求解的位置關系對進行分類討論，結合二次函數在閉區間上的值域的求法，求得在上最大值的表達式.

（1）根據題意，f（x）=x2+ax+b，滿足f（-2）=f（6），則其對稱軸x=2，

則a=-4，

又由f（x）=0的兩實根之積為4，即x2+ax+b=0的兩根之積為4，b=4，

則f（x）=x2-4x+4，

（2）由（1）的結論，f（x）=x2-4x+4，則g（x）=2mx-f（x）=-x2+（2m+4）x-4=-[x-（m+2）]2+m2+4m，

其對稱軸為x=m+2，

分3種情況：

當m+2＜0，即m＜-2時，g（x）在[0，2]上為減函數，則g（x）max=g（0）=-4，

當0≤m+2≤2，即-2≤m≤0時，則g（x）max=g（m+2）=m2+4m，

當m+2＞2，即m＞0時，g（x）在[0，2]上為增函數，則g（x）max=g（2）=4m，

故g（x）max=．