Question

4．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，$\sqrt{3}$sinB-cosB=1，a=2．
（1）求角B的大小；
（2）若b²=ac，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知得：sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結合范圍B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函數(shù)的性質可求B的值．
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-ac，結合b²=ac，可求a=c=2，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$sinB-cosB=1，可得：sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），可得：B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，可得：B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：b²=a²+c²-ac，
又∵b²=ac，
∴a²+c²-ac=ac，可得：a=c=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的性質，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．