Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且Sn=2n-1
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據關系式：an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求a_n；
（Ⅱ）利用錯位相減法可求得T_n．

解答：解：S_n=2ⁿ-1，
（Ⅰ）當n=1時，S₁=2-1=1，即a₁=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
又a₁=1適合上式，
∴an=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知na_n=n•2^n-1，
∴T_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1①，
2T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ②，
①-②得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1

點評：本題考查關系式：an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及數列求和，錯位相減飛相減法對數列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．