Question

（2011•西山區模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延長線于點E，OE交AD于點F．
（Ⅰ）求證：DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）若

AC

AB

=

3

5

，求

AF

DF

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據OA=OD，得到∠ODA=∠OAD，結合AD是∠BAC的平分線，得到∠OAD=∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE．再根據DE⊥AE，得到DE⊥OD，結合圓的切線的判定定理，得到DE是⊙O的切線．
（II）連接BC、DB，過D作DH⊥AB于H，因為AB是⊙O的直徑，所以在Rt△ACB中，求出cos∠CAB=

AC

AB

=

3

5

，再利用OD∥AE，所以∠DOH=∠CAB，得到Rt△HOD中，cos∠DOH=

OH

OD

=cos∠CAB=

3

5

．設OD=5x，則AB=10x，OH=3x，用勾股定理，在Rt△HOD中算出DH=4x，再在Rt△HAD中，算出AD²=80x²．最后利用△ADE∽△ADB，得到AD²=AE•AB=AE•10x，從而AE=8x，再結合△AEF∽△ODF，得出

AF

DF

=

AE

DO

=

8

5

．

解答：證明：（Ⅰ）連接OD，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD
∵∠BAC的平分線是AD
∴∠OAD=∠DAC
∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（3分）
又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD
∵OD是⊙O的半徑
∴DE是⊙O的切線．…（5分）
（Ⅱ）連接BC、DB，過D作DH⊥AB于H，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
Rt△ABC中，cos∠CAB=

AC

AB

=

3

5

∵OD∥AE，∴∠DOH=∠CAB，
∴cos∠DOH=cos∠CAB=

3

5

．
∵Rt△HOD中，cos∠DOH=

OH

OD

，
∴

OH

OD

=

3

5

，設OD=5x，則AB=10x，OH=3x，
∴Rt△HOD中，DH=

OD2-OH2

=4x，AH=AO+OH=8x，
Rt△HAD中，AD²=AH²+DH²=80x²…（8分）
∵∠BAD=∠DAE，∠AED=∠ADB=90°
∴△ADE∽△ADB，可得

AD

AE

=

AB

AD

，
∴AD²=AE•AB=AE•10x，而AD²=80x²
∴AE=8x
又∵OD∥AE，
∴△AEF∽△ODF，可得

AF

DF

=

AE

DO

=

8

5

…（10分）

點評：本題以角平分線和圓中的垂直線段為載體，通過證明圓的切線和求線段的比，考查了相似三角形的性質、相似三角形的判定、圓的切線的判定定理等知識點，屬于中檔題．