Question

已知函數f（x）=（k²-klnx）e^x（y為非零常數，e=2.71828…是自然對數的底數），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）判斷f（x）的單調性；
（2）若f（x）≥（1+a）x-e^xlnx+b（b＞0），求（a+1）b的最大值．

Answer 1

分析：（1）對f（x）進行求導，根據曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，可以得f′（1）=0，代入求得k值，再利用導數研究函數的單調性；
（2）把已知的f（x）的解析式代入不等式f（x）≥（1+a）x-e^xlnx+b，將問題轉化為h（x）=e^x-（a+1）x-b≥0，恒成立即可，對h（x）進行求導，對a+1與1的大小進行討論求解；

解答：解：（1）∵函數f（x）=（k²-klnx）e^x，
∴f′（x）=（k²-klnx-

k

x

）e^x，
由題意知f′（1）=0，解得k=1或k=0（舍去）
所以f（x）=（1-lnx）e^x，f（x）=（1-lnx-

1

x

）e^x，
設g（x）=1-lnx-

1

x

，則g（x）=-

1

x

+

1

x2

=

1-x

x2

于是g（x）在區間（0，1）內為增函數，在（1，+∞）內為減函數，
所以g（x）在x=1處取得極大值，且g（1）=0；
所以g（x）≤0，故f'（x）≤0所以f（x）在（0，+∞）上是減函數．----（4分）
（Ⅱ） f（x）≥（1+a）x-e^xlnx+b?h（x）=e^x-（a+1）x-b≥0--（6分）
得h'（x）=e^x-（a+1）
①當a+1＜1時，h'（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上單調遞增，
∴h（x）＞h（0）=1-b≥0，所以0＜b≤1．
此時（a+1）b＜1．----（7分）
②當a+1=1時，h′（x）＞0⇒y=h（x）在R上單調遞增，
h（x）＞h（0）=1-b≥0，可得b≤1，此時（a+1）b最大值為1；
③當a+1＞1時，h′（x）＞0?x＞ln（a+1），h′（x）＜0，
?x＜ln（a+1），
所以當x=ln（a+1）時，h（x）_min=（a+1）-（a+1）ln（a+1）-b≥0
（a+1）b≤（a+1）²-（a+1）² ln（a+1）（a+1＞1）
令a+1=t，t＞1
設F（t）=t²-t²lnt（t＞1）
則F′（t）=t（1-2lnt）
F′（t）＞0，?1＜t＜

e

，F′（t）＜0
?t＞e，
當t=e時，F（t）_max=

e

2

，
綜上當a=

e

-1，b=

e

時，（a+1）b的最大值為

e

2

---（12分）

點評：此題考查利用導數研究函數的單調性，解題過程中用到了分類討論和轉化的思想，是一道綜合性比較強的題，解答過程中要認真仔細的進行計算；