Question

已知函數y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函數，當x>0時，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.

(1)試求函數f(x)的解析式；

(2)問函數f(x)圖象上是否存在關于點(1，0)對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) f(x)=x+, (2) y=f(x)圖象上存在兩點(1+,2),(1－,－2)關于(1，0)對稱

解析:

(1)∵f(x)是奇函數，

∴f(－x)=－f(x),即

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，

當且僅當x=時等號成立，于是2=2,∴a=b²,             

由f(1)＜得＜即＜,∴2b²－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.

(2)設存在一點(x₀,y₀)在y=f(x)的圖象上，并且關于(1，0）的對稱點(2－x₀,－y₀)也在y=f(x)圖象上，則

消去y₀得x₀²－2x₀－1=0,x₀=1±.

∴y=f(x)圖象上存在兩點(1+,2),(1－,－2)關于(1，0)對稱.