Question

【題目】已知函數f（x）= x2﹣2ax+lnx（a∈R），x∈（1，+∞）．
（1）若函數f（x）有且只有一個極值點，求實數a的取值范圍；
（2）對于函數f（x）、f1（x）、f2（x），若對于區間D上的任意一個x，都有f1（x）＜f（x）＜f2（x），則稱函數f（x）是函數f1（x）、f2（x）在區間D上的一個“分界函數”．已知f1（x）=（1﹣a2）lnx，f2（x）=（1﹣a）x2 ， 問是否存在實數a，使得f（x）是函數f1（x）、f2（x）在區間（1，+∞）上的一個“分界函數”？若存在，求實數a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，x∈（1，+∞），

令g（x）=x2﹣2ax+1，由題意得：g（x）在[1，+∞）有且只有1個零點，

∴g（1）＜0，解得：a＞1

（2）解：若f（x）是函數f1（x）、f2（x）在區間（1，+∞）上的一個“分界函數”，

則x∈（1，+∞）時，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，

令h（x）=f（x）﹣（1﹣a）x2=（a﹣ ）x2﹣2ax+lnx，

則h′（x）= ，

①2a﹣1≤0即a≤ 時，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）遞減，且h（1）=﹣ ﹣a，

∴h（1）≤0，解得：﹣ ≤a≤ ；

②2a﹣1＞0即a＞ 時，y=（a﹣ ）x2﹣2ax的圖象開口向上，

存在x0＞1，使得（a﹣ ） ﹣2ax0＞0，

從而h（x0）＞0，h（x）＜0在（1，+∞）不恒成立，

令m（x）=f（x）﹣（1﹣a2）lnx= x2﹣2ax+a2lnx，

則m′（x）= ≥0，m（x）在（1，+∞）遞增，

由f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，得：m（1）≥0，解得：a≤ ，

綜上，a∈[﹣ ， ]時，f（x）是函數f1（x）、f2（x）在區間（1，+∞）上的一個“分界函數”．

【解析】（1）求出函數的導數，根據f（x）有且只有一個極值點，得到x2﹣2ax+1＜0恒成立，求出a的范圍即可；（2）根據“分界函數”的定義，只需x∈（1，+∞）時，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，判斷函數的單調性，求出a的范圍即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．