Question

已知雙曲線

x2

16

-

y2

25

=1的左焦點為F₁，點P為雙曲線右支上一點，且PF₁與圓x²+y²=16相切于點N，M為線段PF₁的中點，O為坐標原點，則|MN|-|MO|=

 

．

Answer 1

分析：根據雙曲線方程算出a=4、b=5，可得c=

41

．連結ON、PF₂，根據圓的切線的性質與勾股定理算出|F₁N|=5，再在△PF₁F₂中利用中位線定理算出|MO|=

1

2

|PF₂|，利用雙曲線的定義加以計算，即可得到|MN|-|MO|的值．

解答：解：∵雙曲線

x2

16

-

y2

25

=1中，a=4且b=5，
∴c=

a2+b2

=

41

．
連結ON、PF₂，
∵PF₁與圓x²+y²=16相切于點N，∴ON⊥F₁P，
在Rt△ONF₁中，|F₁N|=

c2-a2

=5
∵△PF₁F₂中，M為線段F₁P的中點，O為坐標原點，∴|MO|=

1

2

|PF₂|，
由此可得：|MN|-|MO|=|MF₁|-|F₁N|-

1

2

|PF₂|=

1

2

（|PF₁|-|PF₂|）-5
∵點P在雙曲線的右支上，可得|PF₁|-|PF₂|=2a=8，
∴|MN|-|MO|=

1

2

（|PF₁|-|PF₂|）-5=

1

2

×8-5=-1．
故答案為：-1

點評：本題主要考查雙曲線的定義、三角形中位線、直線與圓相切與勾股定理等知識，屬于中檔題．解答的關鍵是熟悉雙曲線的定義的應用，直線與圓的位置關系以及三角形中的有關結論．